Ist eine Metrik eine Norm?

Ist eine Metrik eine Norm?

Durch Normen erzeugte Metriken eine Metrik. Somit ist jeder normierte Vektorraum (und erst recht jeder Innenproduktraum, Banachraum oder Hilbertraum) ein metrischer Raum. Weitere Beispiele für Normen (und damit auch für Metriken) finden sich im Artikel Norm (Mathematik).

Was ist eine induzierte Metrik?

Sei (X, d) ein metrischer Raum und A eine Teilmenge von X. Wie im Beispiel 2 definiere nun eine Abbildung dA : A × A → R+ durch dA(x, y) = d(x, y) für alle x, y ∈ A. Dann ist dA eine Metrik und damit ist (A, dA) ein metrischer Raum. dA heißt die auf A induzierte Metrik.

Wann sind Metriken äquivalent?

Zwei Metriken d1,d2 auf X heißen äquivalent, wenn sie die gleichen offenen Mengen generieren, d.h. wenn eine Menge U ⊆ X genau dann in (X, d1) offen ist, wenn sie in (X, d2) offen ist. Dann sind diese Metriken äquivalent.

Ist jede Metrik stetig?

Definition 1.27. Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen Räumen ist stetig in x ∈ X, wenn es für jede Umgebung V von f(x) eine Umgebung U von x gibt mit f(U) ⊂ V . Sie ist stetig, wenn sie in jedem Punkt stetig ist. (Äquivalent ist f stetig in x, wenn das Urbild jeder Umgebung von f(x) eine Umgebung von x ist.

Was versteht man unter Metrik?

Metrik steht für: in der Literatur die rhythmische Bestimmung von Texten, siehe Verslehre. in der Musik die Lehre von der Bewertung der Töne, siehe Metrum (Musik) ein Fachbereich der Chemie, siehe Chemometrik.

Wann sind zwei Metriken äquivalent?

Zwei Metriken d und d auf X sind genau dann äquivalent, wenn sie dieselbe Topologie auf X induzieren, d.h., wenn für jede Teilmenge U ⊂ X gilt, U offen in (X, d) ⇐⇒ U offen in (X, d ). Beweis. Sei d ∼ d und sei U offen in (X, d).

Ist ein metrischer Raum offen?

Metrischer Raum heißt offen, wenn jeder ihrer Punkte ein innerer Punkt ist.

Ist jede stetige Bijektion ein homöomorphismus?

Homöomorphismus heißt, dass stetig, bijektiv und auch stetig ist. Hausdorffscher Raum bedeutet, dass alle für alle ∈ mit ≠ disjunkte offene Umgebungen und existieren.

Wann ist ein Raum vollständig?

Definition. gilt. Ein metrischer Raum heißt nun vollständig, wenn in ihm jede Cauchy-Folge konvergiert. Zwar ist eine konvergente Folge stets eine Cauchy-Folge, aber die umgekehrte Richtung muss nicht notwendigerweise wahr sein.

Was ist das Metrum in der Musik?

Das Metrum (griechisch μέτρον, métron, „Maß, Maßstab, Silbenmaß, Versmaß“) ist in der Musiktheorie der Fachbegriff für die Organisation von Schallimpulsen in einem regelmäßigen Betonungsmuster, das den Hintergrund bildet, auf den sich die zeitliche Struktur eines Stücks bezieht.

Was bedeutet Metrik bei Netzwerk?

Im Netzwerkbereich definiert die Metrik ein numerisches Maß für die Güte einer Verbindung bei Verwendung einer bestimmten Route. Existieren mehrere mögliche Routen zum Ziel, kann durch die Metrik bestimmt werden, welche dieser Routen für die Verbindung verwendet wird.

Warum ist ein metrischer Raum offen?